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自首制度体现了刑法中“惩罚与教育相结合”的原则，鼓励犯罪人悔罪自新，同时也提高了司法效率。对于犯罪后自首的被告人，法律给予了从宽处理的机会。具体到死刑判决的影响上：

1.量刑考量：法院在决定是否适用死刑时，必须综合考量犯罪事实、性质、情节以及对社会的危害程度等因素。自首作为法定的从轻或减轻处罚情节，能够表明被告人具有悔罪态度，对社会危害性的评估产生正面影响，从而可能影响死刑的适用。

2.死刑限制适用：根据《中华人民共和国刑法》第六十七条的规定，对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚；其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。这意味着，在某些情况下，即使罪行原本可能判处死刑，被告人的自首行为也可能使其免于最严厉的刑罚。

3.特别规定：在涉及死刑案件中，自首虽不必然排除死刑适用，但它是法官必须考虑的重要情节之一。实践中，若自首行为对查明案件真相、挽回损失或有其他重大立功表现的，更有可能对避免死刑判决产生实质性影响。

1.适用对象：社区矫正主要适用于被法院判处缓刑的犯罪分子。根据《中华人民共和国刑法》第七十二条的规定，对于被判处三年以下有期徒刑或者拘役的犯罪分子，同时符合犯罪情节较轻、有悔罪表现、没有再犯罪的危险、宣告缓刑对所居住社区没有重大不良影响条件的，可以宣告缓刑。

2.申请程序：实际上，社区矫正并非由罪犯本人直接申请，而是法院在判决时根据案件具体情况和罪犯的表现，决定是否宣告缓刑并指定接受社区矫正。一旦法院作出缓刑判决，该判决会自动包含社区矫正的要求，无需罪犯单独申请。

3.执行机关：根据《中华人民共和国社区矫正法》，社区矫正工作由县级以上地方人民政府司法行政部门负责组织实施。公安机关和其他有关部门、村（居）民委员会等应当协助执行。

4.监督管理与教育帮扶：社区矫正期间，矫正对象需定期报到、参加教育学习、社区服务等活动，并接受定期访视和评估。司法行政机关还会根据个人情况提供心理辅导、就业指导等帮扶措施。

根据《中华人民共和国刑法》及相关的司法解释，主动退赃体现了犯罪嫌疑人或被告人对犯罪行为的认错态度和挽回社会损失的意愿，这与刑法中教育与惩罚相结合的原则相契合。在量刑时，法院会综合考量犯罪事实、性质、情节以及对社会的危害程度，同时也会评估被告人的认罪态度和悔罪表现，其中包括是否主动退赃。

自首是指犯罪分子在尚未被司法机关发觉或者虽已被发觉，但尚未受到讯问、未被采取强制措施时，主动向有关机关投案，并如实供述自己罪行的行为。根据《中华人民共和国刑法》第六十七条的规定，对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚；其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。这是因为自首体现了悔罪态度和对社会危害性的降低。

相反，被抓获的犯罪分子，即被公安机关或者其他执法机关依法侦查、逮捕并认定犯罪事实后，其行为并不具备主动性和悔罪性，通常不会享有自首带来的从轻或减轻处罚的情节。